数量关系

这是一份从基础概念开始的数量关系学习指南，面向第一次系统学习的人。重点是看懂题目在问什么，把文字写成数量关系，再选合适的方法计算和检查。

主要依据：四海教育《数量讲义》2025 下半年版，共 22 讲、108 页。本指南按知识之间的联系重新编排为 23 章，并补充必要定义、推导、例子、边界条件和常见错误。原讲义中的练习题没有逐题照录；机构参考答案不等同于官方评分。遇到扫描公式不清楚时，按通行数学定义重新推导，不猜测模糊字符。

开始前：先看懂这些数学语言

读题时会反复遇到字母、分数、比例和“每份”这样的说法。先记住下面几条，就能读懂后面的公式。

未知数和等式

把不知道的数量暂时叫作 $x$、$y$。例如“甲有一些书，比乙多 3 本”，如果乙有 $x$ 本，那么甲有 $x+3$ 本。题目再说两人共有 17 本，就能写成 $x+(x+3)=17$。

等号表示左右两边的数量相同。解方程就是找出让等式成立的数；对等式两边做同一种加、减、乘、除操作，等式仍然成立。上例中 $2x+3=17$，两边先减 3 得 $2x=14$，再除以 2 得 $x=7$，所以乙有 7 本、甲有 10 本。最后把答案放回题意检查：$7+10=17$。

分数、百分数和“以谁为基准”

分数 $a/b$ 表示把一个整体平均分成 $b$ 份后取其中 $a$ 份；百分数是分母为 100 的分数，所以 $25\mathrm{\%}=25/100=0.25$。求一个数的 25%，就是乘以 0.25。例如 80 的 25% 是 $80\times 0.25=20$。

“甲比乙多 20%”中的基准是乙：若乙为 100，甲为 120；写成甲 $=1.2\times$ 乙。反过来，乙比甲少的百分数要用甲作分母，不能仍答 20%。每遇到百分数，先圈出“和谁比”。

比例和“份数”

甲:乙 $=3:2$ 的意思是：甲和乙分别由 3 份、2 份同样大的量组成。用 $k$ 表示每份的大小，就有甲 $=3k$、乙 $=2k$。如果两人合计 50，则 $3k+2k=50$，每份 $k=10$，甲 30、乙 20。

比例只告诉你相对大小，不能单独确定实际数量。题目没有总量、差、单位数量或其他约束时，$k$ 不能被擅自当作 1。

单位率：每份时间或数量做多少

“每小时 6 件”“每人分 3 个”“每公里 5 分钟”都是单位率。若每小时做 6 件，做 4 小时就做 $6\times 4=24$ 件；反过来，24 件由每小时 6 件完成，需要 $24÷6=4$ 小时。

先把单位写清楚：件/小时、米/秒、元/件。数量关系中最常用的对应式是“总量 $=$ 每单位的量 $\times$ 单位数”，工程和行程都能从这里开始。

倍数、因数、最大公约数和最小公倍数

若 12 能被 3 整除，就说 3 是 12 的因数、12 是 3 的倍数。几个整数共同拥有的最大因数叫最大公约数，最小的正公共倍数叫最小公倍数。例如 6 和 8 的最大公约数是 2，最小公倍数是 24。后文遇到“同时整除”或“周期同时发生”时会用到它们。

乘方、阶乘和组合数

$3^2$ 读作“3 的平方”，表示 $3\times 3=9$；$3^3=3\times 3\times 3=27$。$n!$（读作“$n$ 的阶乘”）表示从 $n$ 连乘到 1，例如 $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$；约定 $0!=1$。$C_n^r$ 表示从 $n$ 个不同对象中选出 $r$ 个、但不关心先后顺序的选法数。后文会说明它与“排列”有什么不同。

概率

当所有可能结果机会相同，事件的概率等于“有利结果数 ÷ 全部结果数”。掷一枚公平骰子，掷出偶数有 2、4、6 三种，共有 6 种等可能结果，所以概率是 $3/6=1/2$。如果结果机会不相同，不能直接用这个分数，需要先分析每种结果的概率。

集合、总和和其他常见记号

$A\cup B$ 表示属于 A 或 B 至少一个，$A\cap B$ 表示同时属于 A 和 B；$|A|$ 表示集合 A 中对象的个数。$\mathrm{\Omega }$ 常表示全部可能结果，$\sum$ 表示把后面列出的数逐项相加。几何中 $\pi$ 是圆周率，约等于 3.14；$r$ 表示圆的半径，半径是圆心到圆边的距离，直径是半径的两倍。

如何使用这本教材

数量关系题目看起来题材很多，底层结构却集中在少数几类：比例与方程、效率叠加、整数约束、平均与混合、计数、概率、极值、周期，以及几何和运动模型。先把题目翻译成这些结构，再选择最快的算法。

建议每题依次做四步：

1. 定对象和单位：问的是人数、次数、工作量、路程、金额，还是方案数？单位统一了吗？
2. 写关系，不急着算：找总量、部分量、比例、差、倍数、先后顺序和限制条件。
3. 选模型：方程、赋值、列表、画图、公式、枚举、反向构造，或选项代入。
4. 检验边界：整数性、是否重复计数、是否满足“至少/至多/恰好/首次/全部”等限定。

考试的题量和时间会因考试类别、年份和试卷而变化；共同点是作答时间有限。首轮扫题时，优先拿下熟悉模型与短题；需要多步分类、图形复杂或读题不确定的题先标记。不要因为一道题已经花了时间就继续投入（沉没成本）。

建模的共同语言

• 总量：设为 1、100、最小公倍数或方便计算的数。工作量、浓度混合总质量、人数总数常可整体赋值。
• 比例：若 $A:B=m:n$，可设 $A=mk,B=nk$。不知道绝对量时先保留 $k$。
• 百分数：增长 $r$ 后乘 $1+r$，下降 $r$ 后乘 $1-r$。连续变化相乘，不直接相加。
• 单位率：每小时、每人、每件、每公里的量。把“每单位做多少”固定下来，较容易组合。
• 约束：题干中的整数、正数、互异、至少、至多、顺序、满员、整除等词，常比叙述背景更重要。
• 答案校验：数量应非负、整数条件应成立、概率在 0 到 1 之间、效率与用时方向相反、混合平均值应在各组均值之间。

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第一编　方程、整数与数列

第1章　和差倍比、比例与方程

1. 什么时候列方程

题目中的未知量之间有可直接表达的关系时，设未知数列方程最稳。常见语言转换：

题干表达	数学表达
A 比 B 多 $d$	$A=B+d$
A 是 B 的 $r$ 倍	$A=rB$
A 比 B 多 p%	$A=(1+p)B$
A 是 A、B 合计的 p%	$A=p(A+B)$
甲比乙少 20%，以乙为基准	甲 $=0.8$乙

表中的 $p$ 用小数表示：20% 写成 0.2，125% 写成 1.25。百分数一定要明确“谁是基准”。A 比 B 多 20%，意味着 $A=1.2B$；B 比 A 少多少则是 $1-A/B$，一般不等于 20%。例如乙为 100、甲为 120 时，乙比甲少 $20/120=16\frac{2}{3}\mathrm{\%}$。

2. 和差倍模型

若两数和为 $S$、差为 $D$，则大数 $(S+D)/2$，小数 $(S-D)/2$。例如和为 30、差为 6，大数是 $(30+6)/2=18$，小数是 $(30-6)/2=12$。若和为 $S$，大数是小数的 $r$ 倍，则小数为 $S/(r+1)$，大数为 $rS/(r+1)$。

多个时期或多个对象的“先后关系”优先列表。例如三台机器每小时效率相同，但开始时间不同，可令每台已工作时长为 $t_i$，某时刻产量就是效率乘工作时长；不要把“开始晚”误当作效率低。

3. 比例链与差额

比例链可用同一个比例单位串起来：甲:乙=3:4，乙:丙=2:5，则统一乙的份数为 4 和 2 的最小公倍数 4：甲:乙:丙=3:4:10。

涉及调拨、增减后比值变化时，先设原始量为比例份数，再把调拨写为加减。比如 A、B、C 原来为 $5k:4k:3k$，A 向 C 调出 4、D 向 B 调入 1，则新量为 $5k-4,4k+1,3k+4$。比例条件再列方程，最后验证 $k$ 使所有数量为非负整数。

第2章　不定方程与整数约束

不定方程通常不是“解出唯一未知数”，而是用整数、范围、奇偶、倍数和极值把可能性压缩到有限个。

1. 线性整数方程

若大车每辆运 $a$ 人、小车每辆运 $b$ 人，总人数 $N$，则 $ax+by=N$，其中 $x,y$ 是非负整数，分别表示两种车的辆数。因为左边一定是 $a,b$ 的公约数的倍数，先检查最大公约数：

$$gcd(a,b)\mid N$$

不满足就无整数解。例如 $6x+9y=25$ 不可能，因为左边必是 3 的倍数、右边不是。若最大公约数能整除 $N$，只说明这个必要条件通过；还要检查非负、正数、数量上限等题目限制。再对方程取余，可找出 $x$ 或 $y$ 的余数类别，把可能范围缩小后代回。

2. 线性组合的快捷解法

当 $a,b$ 接近，常用“总数换算基准法”。例如每件方案本来按较小单位计量，改用大单位会多出固定差额；用差额反推件数，通常比解二元方程快。

当题目问“最多/最少”，目标函数也要纳入：在全部整数解中，比较 $x+y$、$x-y$ 或某个所求组合，而不能只找到任意一组解。

3. 总价、不规则单价

把金额先全部换成“分”，再列整数方程。例如单价 1.70、3.00、4.00 元，总价 40.60 元，可写为 $170x+300y+400z=4060$。求总支数最大，等价于在约束下最大化 $x+y+z$。用小单价商品作基线，再看替换成更贵商品会使金额增加多少。

易错点：钱的单位不统一导致小数方程；把每个变量都允许取 0，但题干规定“每种至少一个”；找到最小可行数量后误答“最多”。

第3章　整除、倍数特性与余数

1. 常用整除判定

• 2：末位为偶数；5：末位 0 或 5；10：末位 0。
• 3、9：各位数字和分别被 3、9 整除。
• 4：末两位被 4 整除；8：末三位被 8 整除。
• 11：奇数位数字和与偶数位数字和之差是 11 的倍数。
• 分数与比例中的整数性：若 $A/B=m/n$ 且 $m,n$ 互质，则 $A$ 是 $m$ 的倍数，$B$ 是 $n$ 的倍数。

“人数的某百分比是整数”给出整除条件。这里的 $p$ 以小数表示，例如 20% 写作 0.2。40% 的人数为整数，说明总人数为 5 的倍数；62.5% 则为 8 的倍数。

2. 余数同余

“除以 $m$ 余 $r$”记为 $N\equiv r(\mathrm{mod}m)$。多个余数条件可逐个合并。若余数相同，如 $N\equiv 2(\mathrm{mod}3)$、$N\equiv 2(\mathrm{mod}5)$，则 $N\equiv 2(\mathrm{mod}15)$。

例如 $N$ 除以 3 余 2、除以 5 余 1。先列出除以 3 余 2 的数：2、5、8、11、14、17……其中 11 除以 5 余 1，所以最小解是 11；两个条件同时成立的数每隔 $\mathrm{lcm}(3,5)=15$ 出现一次，即 $N=11+15k$（$k$ 为整数）。如果余数不相同，就从原条件逐项检查，不能直接把余数当作一个数。

3. 余数与日期、页码、连续数

连续 $k$ 个整数的乘积包含多个因子，可优先分解质因数、判断末位和整除性。连续日期或页码的和为等差数列和；被删去连续页码时，可先求总和，再依据整除余数反推缺失页码区间。判断平方数时，可列出靠近范围边界的平方：$1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$；若题目还给奇偶、整除等条件，再逐一筛选。

第4章　数列、平方数与规律

1. 等差数列

首项 $a_1$、公差 $d$、项数 $n$：

$$a_n=a_1+(n-1)d,S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d].$$

奇数项等差数列的中项等于平均数；项数为 $n$ 时，$S_n=n\times$中项。对称两项之和相等：若 $i+j=k+l$，则 $a_i+a_j=a_k+a_l$。

如果给出前 5 项和、前 7 项和，二者相减即可得到第 6、7 项之和；利用对称性进一步求中项或总和。例如数列 2、5、8、11 的首末项和为 13，因此总和是 $4\times 13/2=26$，也可直接两两配对计算。

2. 等比数列与复合规律

等比数列：$a_n=a_1{q}^{n-1}$，$S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)$（$q\ne 1$）。行测更多是识别重复倍增、连续增长率或数字循环，不必机械套公式。

有规律的算式序列可拆成“第几轮”“轮内位置”“每轮贡献”。先写出第 $k$ 轮首项、项数和和，再对累计和做区间定位，避免逐项累加。

3. 平方数、质数和整数结构

平方数个位只可能为 0、1、4、5、6、9；完全平方数的质因数指数均为偶数。若平方数 $p$ 与 $p\pm 2$ 同时为质数，先用奇偶性：大于 2 的质数均为奇数，三个数的奇偶性会极强地限制 $p$。

看到“每种商品种类数为 $n$，每种都订 $n$ 件”，总数是 $n^2$；多个对象的数量是平方数时，先列平方数表而非解复杂方程。

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第二编　效率、平均与收益

第5章　工程问题与合作完工

1. 基本模型

设总工作量为 $W$，效率为 $v$，时间为 $t$：

$$W=vt,v=\frac{W}{t}.$$

工作量没有具体单位时，常把 $W$ 设成各单独完工时间的最小公倍数。若甲需 20 天、乙需 30 天，设总量 60，则效率分别为 3、2 单位/天；合作效率为 5，合作完工需 12 天。

2. 分段工作

把时间线切成效率或人员发生变化的段，分别算产量再相加：

$$W=\sum _i{v}_i{t}_i.$$

若甲先做 $x$ 小时、乙接手剩余工作，则 $v_{A}x+v_B(T-x)=W$。题干给出“某人中途离开/加入/效率变化”，就必须分段，不能用全程平均效率直接乘总时间。

例：甲单做需 50 小时，乙单做需 30 小时；全程 42 小时由甲先做 $x$ 小时、乙做其余部分。令总量为 150，效率 3、5，则 $3x+5(42-x)=150$，解得 $x=30$。乙工作 12 小时，完成量为 60，占总量 $60/150=40\mathrm{\%}$。

3. 效率比例法

若只给效率比，设效率为 $a:b$，工作总量可设为方便数。效率提升 25% 就乘 1.25，合作效率按人相加。问“提前或延后几天”，先算已经完成的工作量，再把剩余工作除以新效率。

多人合作撤出时，不能把撤出者的效率仍算进后续段。若某人合作时效率比单做提高 10%，这是“合作状态下的个人效率”变化；先辨清它是整体变化还是个人变化。

4. 合作完工问题的守恒

工作总量固定。多个方案之间作差，常能消去未知总量。例如两种组合工期相近，分别写总产量方程后相减，留下少数效率或时间变量。处理“某队先单做、再合作、最后单做”时用工序表最稳。

第6章　平均数、加权平均与十字交叉

1. 加权平均

若两组人数为 $n_1,n_2$，平均值为 $x_1,x_2$，总体平均：

$$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2}{n_1+n_2}.$$

总体平均必须位于两组平均之间。两组平均距总平均的“交叉差”与人数成反比：

$$n_1:n_2=(x_2-\overline{x}):(\overline{x}-x_1).$$

例如 A 组均分 86，B 组 80，总均分 84，则人数比 $A:B=(84-80):(86-84)=4:2=2:1$。这是十字交叉法的本质，适用于平均数、浓度、单价等线性加权量。

为什么人数会和“交叉差”成反比？把总平均 84 看成基准：A 组每人高出 2 分，B 组每人低 4 分。要让高出的总分与低下去的总分抵消，就要有 $2\times$ A 组人数 $=4\times$ B 组人数，所以 A:B=2:1。先写这个守恒关系，再记交叉口诀会更稳。

2. 不能滥用十字交叉

十字交叉只适合“混合后的量是各组按数量加权的平均值”。增长率、利润率、几何平均、复合增长等不一定可直接交叉。先写总量守恒式，再决定是否使用。

人数需为整数、总人数有上限时，交叉只给比例，还需按最小整数倍扩展并检查总数约束。

第7章　溶液、混合与连续稀释

1. 核心守恒：溶质不变

浓度 $c=\text{溶质}/\text{溶液总量}$。混合两种溶液：

$$c=\frac{c_1{m}_1+c_2{m}_2}{m_1+m_2}.$$

加水只增加总量、不增加溶质；蒸发纯水只减少总量、不减少溶质；加入另一种溶液时，溶质和总量都相加。

例如 100 克、浓度 20% 的糖水含糖 $100\times 20\mathrm{\%}=20$ 克。加入 100 克纯水后，糖仍为 20 克，总液体变成 200 克，浓度是 $20/200=10\mathrm{\%}$。这里不能把原浓度和“水的 0%”直接相加；必须按各部分质量加权。

2. 稀释与蒸发

初始 $m$ 克、浓度 $c_1$，加入 $x$ 克纯水至浓度 $c_2$：

$$c_{1}m=c_2(m+x),x=m(\frac{c_1}{c_2}-1).$$

蒸发后浓度从 $c_1$ 变 $c_2$，溶质质量 $s$ 不变，所以总量由 $s/c_1$ 变为 $s/c_2$。先算蒸发后剩余量，再处理补液。

3. 反复倒出再补满

每次倒出容器容量的比例 $r$，再补入浓度 $c_{\text{新}}$ 的溶液，原溶液浓度为 $c$，则新浓度：

$$c^{\prime }=(1-r)c+r{c}_{\text{新}}.$$

倒出一半再补满就是 $c^{\prime }=(c+c_{\text{新}})/2$。连续操作时逐次递推，不能把两次添加量一次性平均。

第8章　经济利润与阶梯计费

1. 单件与总利润

单件利润 = 售价 − 进价 − 单件其他成本；总利润 = 单件利润 × 销量 − 固定成本（若有）。利润率要看题干基准：

• 成本利润率 = 利润/成本；
• 售价利润率（毛利率）= 利润/售价。

二者分母不同，不可混用。折扣只作用于售价，若题目写“成本利润率 19%”，则收入与总成本之差为成本的 19%。例如成本 80 元、售价 100 元，利润为 20 元；成本利润率是 $20/80=25\mathrm{\%}$，售价利润率是 $20/100=20\mathrm{\%}$。题目说“按成本的 1.2 倍出售”表示售价为成本乘 1.2；“打八折”表示售价乘 0.8，两个百分比的基准不同。

2. 分批销售

把每一批单独写“销量 × 单价”，最后求总收入、总成本。可设进价为 1 或定价为 100，先做比例化简。先按原价售出一部分、再折扣售出余量时，剩余数量是总量减已售数量；价格在“几折基础上再打几折”时要相乘。

3. 阶梯计费

分段收费可画横轴时间、纵轴费用，或按区间列累计费用。注意“不足一小时按一小时计”“超过部分每 30 分钟”“首段免费”等计费边界。先根据费用反推所在档位，再算时间区间。

第9章　利润函数最值与增长

1. 线性需求下的二次函数

设售价比原价提高 $x$，销量随之减少 $kx$。若单件成本为 $c$，原售价 $p$，原销量 $q$，利润：

$$P(x)=(p+x-c)(q-kx).$$

展开后可写成 $a{x}^2+bx+c$。当 $a<0$ 时图像开口向下，连续取值范围里的最大值在顶点 $x=-b/(2a)$；如果 $x$ 只能取整数，就比较顶点两侧最近的整数，并检查题目允许的范围。也可用“单价每变动 1 元，利润如何变化”枚举选项。选项法要代回原条件核验，不能只凭接近顶点下结论。

2. 等幅增长和连续变化

同比增长 $r$：新量 = 旧量 $\times (1+r)$；连续 $n$ 次等增长：乘 $(1+r{)}^n$。连续两次下降同为 $r$，最终为原量 $(1-r{)}^2$，总降幅是 $1-(1-r{)}^2=2r-r^2$，大于 $r$ 而小于 $2r$。

3. 增长率的基期分解

整体增幅是分项增幅按基期占比加权。若 A 下降 30%，B 上升 70%，整体上升 10%，设 B 基期占比 $x$：

$$-30\mathrm{\%}(1-x)+70\mathrm{\%}x=10\mathrm{\%},x=40\mathrm{\%}.$$

所有“总体变化由多个组成部分贡献”的题，都要用基期权重，而非本期权重。

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第三编　集合、极值与周期

第10章　容斥原理与集合计数

1. 两集合

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$

只属于 A = $|A|-|A\cap B|$；两者都不属于 = 总数 − 并集。例如总人数 100，喜欢 A 的有 40 人、喜欢 B 的有 35 人、两者都喜欢的有 15 人，则至少喜欢一种的有 $40+35-15=60$ 人；只喜欢 A 的有 25 人，只喜欢 B 的有 20 人，两者都不喜欢的有 40 人。若题目比较“都有”与“都没有”，先设交集 $x$，逐项表达，不要凭图形直觉。

2. 三集合

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$

用维恩图时把区域分成 7 块：只 A、只 B、只 C、仅 AB、仅 AC、仅 BC、三者都有。题目给“同时选两项”需辨认是包含三者的交集，还是“仅两项”。

3. 多项选择问卷与计数

把每个区域人数设未知量，依次用总人数、单项人数、两项交集、三项交集建立方程。若方程较多，先把题目提供的信息写在区域图上，最后求所问区域。出现人数百分比时再加整数约束。

4. 容斥与最值

题目问“至少多少/至多多少同时属于多组”，把总量分配到区域，做最有利或最不利的构造。三集合下界常用：

$$|A\cap B\cap C|\ge |A|+|B|+|C|-2N.$$

结果若小于 0，下界取 0。精确问题仍要验证能否构造出达到该界的分配。

第11章　和定最值、极端构造与鸽巢原理

1. 和定最值

若若干正整数和固定，求某一项最小/最大，要先让其他项尽可能大/小，同时满足互异、倍数、排名等限制。例如 4 个互不相同的正整数和为 18，最小值尽可能小时，可取 1、2、6、9，合计 18，因此最小值能达到 1。若还有“必须连续”“最大值不超过某数”等条件，构造后都要逐条检查。

“每个都不同且相差最多不超过 1 倍”会限制大小关系；“最大项为第二大项的某范围”要转化为上界后再构造。

2. 最不利原则

问“至少取多少次才能保证”，先构造“还没保证”的最多情况，再加 1。

若有 $k$ 类物品，每类至多拿 $r-1$ 个仍可能没有 $r$ 个同类，则最坏情况为 $k(r-1)$，保证数量为 $k(r-1)+1$。例如 4 种颜色的球，每种最多先拿 2 个仍凑不出 3 个同色球，最坏拿 8 个；再拿 1 个就一定有 3 个同色球。若各类物品数量有限，则先按每类 $min(n_i,r-1)$ 个计算；某类拿完后，不能再假设这类还有库存。若算出的保证数量大于现有物品总数，说明现有物品不足以保证目标。

3. 鸽巢原理

把要分配的对象看作鸽子、类别看作鸽巢。$N$ 个对象分到 $k$ 个类别时，至少一个类别不少于 $\lceil N/k\rceil$；$\lceil x\rceil$ 表示不小于 $x$ 的最小整数。例如 10 人分到 3 个班，至少一个班有 $\lceil 10/3\rceil =4$ 人。年龄、专业、颜色、抽奖礼品都能套此结构，但要确认类别互不重叠且覆盖了题目所说的对象。

4. 反向构造

“至少多少人同时看过三项”可从“尽量把三项错开”构造；“至少有一店分到 8 箱”可先假设所有店最多 7 箱，再由总箱数推出店数上界。极值题常由否定目标开始构造。

第12章　周期、循环与日期星期

1. 周期相遇

两个周期分别为 $a,b$，同时发生的间隔为 $\mathrm{lcm}(a,b)$。第 1 次同时发生之后的第 $n$ 次是起点加 $(n-1)L$，避免把“第七次”误算成 7 个周期。

多周期则求最小公倍数。例如两盏灯分别每 6 分钟和 8 分钟闪一次，现在同时闪；下次同时闪在 $\mathrm{lcm}(6,8)=24$ 分钟后。若状态是矩形座位同时横向、纵向轮换，分别求两方向回到原位的周期，再取最小公倍数。

2. 星期推算

星期按 7 循环。日期相差 $d$ 天，星期偏移 $dmod7$。计算日期间隔时采用“目标日期减起始日期”，跨年时加上该年剩余天数及完整年份天数。平年 365 天偏移 1，闰年 366 天偏移 2。

闰年规则：能被 4 整除且不能被 100 整除，或能被 400 整除。不要假设每年只前进一天。

3. 月份天数与唯一性

某月 1 日星期几决定整月分布；31 天月有三个星期各出现 5 次，30 天月有两个星期出现 5 次。结合营业额、排班次数反推月首星期。题目若给多个约束，通常有唯一符合者，逐个星期假设比背结论可靠。

“每隔 4 天去一次”表示间隔 5 天；“每 4 天去一次”一般表示间隔 4 天。读清措辞。

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第四编　几何、排列与概率

第13章　平面几何

1. 常用面积与周长

图形	面积	周长/相关长度
长方形	$ab$	$2(a+b)$
正方形	$a^2$	$4a$
三角形	$ah/2$	三边和
平行四边形	$ah$	$2(a+b)$
梯形	$(a+b)h/2$	四边和
圆	$\pi r^2$	$2\pi r$
扇形	$(\theta /{360}^{\circ })\pi r^2$	弧长 $=(\theta /{360}^{\circ })2\pi r$

2. 勾股、相似与面积比

直角三角形：$a^2+b^2=c^2$。常见勾股数及其倍数：3:4:5、5:12:13、8:15:17。特殊直角三角形：30°-60°-90°边比 $1:\sqrt{3}:2$，45°-45°-90°边比 $1:1:\sqrt{2}$。

相似图形边长比为 $k$，面积比为 $k^2$。同底等高面积相等；同高三角形面积比等于底边比；同底三角形面积比等于高之比。复杂图中优先找共享底、高、对角线和相似三角形。

3. 圆、扇形与组合图

圆的面积比等于半径平方比。道路或环形区域面积 = 外轮廓面积 − 内部面积。标志牌、喷绘价格等按面积计费时，先算各颜色的面积占比，再乘已知部分价格，不必先求单价。例如底为 6 厘米、高为 4 厘米的三角形，面积是 $6\times 4/2=12$ 平方厘米；“÷2”来自同底同高的三角形面积是平行四边形的一半。

圆柱侧面积 $2\pi rh$，圆锥体积 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

第14章　立体几何与放缩

1. 体积、表面积

立体	体积	表面积
长方体	$abc$	$2(ab+bc+ca)$
正方体	$a^3$	$6a^2$
圆柱	$\pi r^{2}h$	$2\pi r^2+2\pi rh$
圆锥	$\pi r^{2}h/3$	$\pi r^2+\pi rl$
球	$4\pi r^3/3$	$4\pi r^2$

棱柱体积 = 底面积 × 高；棱锥体积 = 底面积 × 高 / 3。切割题中体积可加减，表面积需区分原有外表面与新切面。

2. 等比放缩

相似立体线性尺寸比 $k$，面积比 $k^2$，体积比 $k^3$。例如每条边都放大到原来的 3 倍，面积放大 9 倍、体积放大 27 倍。沙漏、圆锥水位、帐篷等题，截面相似时先写比例，不必求绝对尺寸。圆锥高度变为一半时，若底面半径也按比例变化，体积可能变为八分之一；若只改变水位高度，必须重新判断圆锥相似比例。

3. 几何最值与最短路径

固定周长的矩形，正方形面积最大；固定长方形面积 $A$，周长在正方形时最小。若一个边沿墙、不需围栏，目标周长关系会变成 $x+2y=L$，面积 $xy$ 在 $x=2y$ 时最大。

最短路径常用对称展开：把反射点沿边镜像，折线最短等价为展开平面中的直线。两点在直线同侧、要求经直线到达时，将一端镜像后连线。

第15章　排列组合基础

1. 加法原理与乘法原理

• 分类：互不重叠的情况相加。
• 分步：多个步骤都必须完成，选择数相乘。
• 排列：从 $n$ 个不同对象中选 $r$ 个并排序，$A_n^r=n!/(n-r)!$。
• 组合：只选不排序，$C_n^r=n!/[r!(n-r)!]$。

判断关键：交换两个选中对象，是否算新方案？若算，顺序有意义。例如甲、乙、丙 3 人中选 2 人组成不分职位的小组，有 $C_3^2=3$ 种；选队长和队员则有 $A_3^2=3\times 2=6$ 种，因为甲当队长、乙当队员与乙当队长、甲当队员是不同方案。

2. 分类、分步与从特入手

固定顺序的题先定位特殊位置；多个限制时优先安排最受限制者。可把“至少一个”“不能全选”用全部减不符。

若 5 个固定次序任务中，两个指定任务不能在首尾，可先安排这两个任务的位置，再排其余任务；或先排全部再减去违反情形。两法都要避免重复扣除。

3. 简单枚举和分情况

当对象很少、约束强时，列表枚举比公式更省事。列情况时确保互斥且覆盖全部可能；可固定某一个变量，按其取值分支。涉及 0-1 序列的“前缀分数始终满足条件”，可转为路径计数或递推。

第16章　相邻、不相邻与环形排列

1. 相邻捆绑

两个对象必须相邻，把它们看成一个整体排列，再乘内部排列数。$k$ 个对象必须相邻，则整体作为一个“块”，块内还可有 $k!$ 种内部顺序。

若同类对象各自不同、类别必须连在一起，先排列类别块，再乘每类内部排列。例如三类各有 $a,b,c$ 幅不同作品，方式数为 $3!a!b!c!$，若限制某一类不能在两端则再扣除不合法类别顺序。

2. 插空不相邻

先排不受限制的对象，形成空位，再把不能相邻对象放入不同空位。$n$ 个不同对象排成一列，另有 $k$ 个不同对象且它们彼此不相邻：

$$n!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})k!.$$

若两类对象不能彼此相邻，则“先排 A 再插 B”只保证 B 彼此不邻，需要额外检查 B 与 A 的限制。例如先排 C、D、E 有 $3!=6$ 种，形成 4 个空位；再从空位中选 2 个放 A、B，有 $C_4^2\times 2!=12$ 种，所以 A、B 不相邻的排法共 $6\times 12=72$ 种。

3. 环形排列

圆桌上 $n$ 个不同人，旋转视为相同，则共有 $(n-1)!$ 种；镜像通常仍视为不同，除非题目明确不区分方向。围成一圈时固定一个对象消除旋转对称。

环形相邻问题可先固定一个人，再按线性排列处理其余位置；“两位大人不相邻”常用总数减去两大人相邻数。

第17章　定序、相同元素分配、错排与分堆

1. 定序

若 $n$ 个不同对象中，$k$ 个对象的相对先后固定，但不要求相邻，则总排列数除以 $k!$。例如 A、B、C 必须按 A 在 B 前、B 在 C 前，所有顺序中仅占 $1/3!$。

2. 相同元素分配

把 $n$ 个相同物品分给 $k$ 个不同人，每人至少 1 个：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}).$$

每人可得 0 个：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1}).$$

以 5 个相同球分给 3 个不同盒子为例：每盒至少 1 个，先放 2 个隔板，5 个球之间有 4 个空隙可选，所以有 $C_4^2=6$ 种；允许空盒时有 $C_7^2=21$ 种。盒子可区分，所以把球数 $(3,1,1)$ 分给不同盒子时，要区分是哪一个盒子拿到 3 个。

有最低配额 $x_i\ge a_i$，先发配额，剩下再用隔板法。若还有限制“某组至少两件/每组不同”等，隔板法可能不适用，需要分类枚举。

3. 错位排列

$n$ 个对象全部不能回到原位的错排数记为 $D_n$：

$$D_n=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!},D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}).$$

小规模常见值：$D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44,D_6=265$。只问“恰有一个回原位”时，可选该人，再对其余人作不固定点限制，需注意其余排列不能使额外的人回原位。

4. 分堆与分组

把 $2n$ 个不同人分成两组，每组 $n$ 人且组无标签：

$$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{2}.$$

若两组承担不同任务、组有标签，则不除以 2。多人平均分堆的除数取决于“堆是否可区分”，这是易错核心。

第18章　概率与随机过程

1. 古典概型

所有基本结果等可能时：

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

先确定样本空间的单位：是人、座位安排、抽取顺序、子集，还是重复抽取序列。分子分母必须使用同一单位。

2. 组合概率与补集

不放回抽样通常用组合数；放回抽样或独立试验用乘法。求“至少一个”优先算补集：

$$P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个也没有}).$$

例如从 8 个展厅选 3 个，叶雕与皮影至少参观一个：总方案 $C_8^3$，两者都不选为 $C_6^3$，概率 $1-C_6^3/C_8^3$。

3. 条件概率与全概率

若先观察到条件 $B$，则 $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$。分情况 $B_i$ 覆盖全部情况时：

$$P(A)=\sum _{i}P(A|B_i)P(B_i).$$

多轮评审、堵车与否、比赛胜负，都可按第一步状态拆分。题中说各事件独立时才可以直接相乘。

4. 比赛概率与状态递推

三局两胜、五局三胜等系列赛，按“还需几胜/还剩几局”递推。若每局胜率 $p$ 且独立，三局两胜获胜概率为：

$$p^2+2p^2(1-p)=3p^2-2p^3.$$

若胜率会随上一局结果变化，就按上一局状态做树状图或递推，不能使用独立同分布公式。

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第五编　行程与趣味题

第19章　行程问题（一）：基础、比例、相遇追及

1. 路程、速度、时间

$$s=vt.$$

先统一单位：km/h 换成 m/s 要除以 3.6；m/s 换成 km/h 要乘以 3.6。停留时间只增加总耗时，不增加路程。往返路程相同时，不能简单把往返速度作算术平均。

2. 比例法

相同路程下，速度比与用时比成反比；相同时间下，路程比等于速度比。速度提高 $r$，新时间为原来的 $1/(1+r)$，时间节省比例为 $r/(1+r)$。

3. 相遇与追及

• 相向：相对速度 $v_1+v_2$，相遇时间 = 初始距离/(速度和)。
• 同向追及：相对速度 $v_{\text{快}}-v_{\text{慢}}$，追及时间 = 初始间距/速度差。
• 环形跑道同向从同一点出发，第一次追上需领先一圈：$t=L/(v_{\text{快}}-v_{\text{慢}})$。
• 环形跑道反向相遇，$t=L/(v_1+v_2)$。

多次相遇要画位置线，明确每次掉头、到端点和方向。简单直线往返模型可把路程展开为镜像周期，减少逐段计算。

第20章　行程问题（二）：流水、火车、变速与平均速度

1. 流水问题

静水速度 $v$，水流速度 $u$：顺流 $v+u$，逆流 $v-u$。同一船往返的速度差为 $2u$。漂浮物相对水的速度为 0，因此船追漂浮物时，船与物之间的相对速度等于船的静水速度。

2. 火车过桥

完全通过桥：火车头走过“车长+桥长”；车身完全在桥上：火车头走过“桥长−车长”；会车/超车：相对路程为车长之和，速度用相对速度。

3. 匀加速与平均速度

匀加速运动平均速度 $(v_0+v_1)/2$，仅在加速度恒定时成立。路程不同的多段运动，全程平均速度是总路程/总时间，不能直接平均各段速度。

同距离两段速度 $v_1,v_2$，平均速度为调和平均：

$$\overline{v}=\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}.$$

多段行程以总量公式为准：$\overline{v}=\frac{\sum _i{s}_i}{\sum _i{t}_i}$。

4. 时间节点与分段速度

题目给“某段路走一半时速度”“前半程比后半程多用时”，要先确定“半程”指时间还是距离。均匀加速时，某段时间的平均速度可用首末速度平均；距离和速度的关系可用 $v^2-v_0^2=2as$，但行测通常可借选项和比例简化。

第21章　趣味杂题：牛吃草、鸡兔、方阵、植树

1. 牛吃草模型

草场初始草量 $Q$，草每天生长 $g$，每头牛每天吃 $c$，$n$ 头牛吃 $t$ 天：

$$Q+gt=nct.$$

不同牛数和天数形成方程组，可解出 $Q$ 和每天生长量 $g$。若目标是 $T$ 天吃完：

$$n=\frac{Q/T+g}{c}.$$

关键是新增量持续发生，不能只用“总草量/总吃草量”。排队窗口、蓄水池进水、河道淤积也属于同一模型。

2. 鸡兔同笼

两类对象数量 $x,y$，总数 $N$，某种总量 $M$：

$$x+y=N,ax+by=M.$$

也可先假设全部是第一类，差额除以每换一只第二类增加的量。答题计分、双打人数、动物腿数都可转为同类方程。

3. 方阵

实心正方形方阵边长为 $n$ 时总数 $n^2$，外圈 $4n-4$；从外向内第 $k$ 圈人数为 $4[n-2(k-1)]-4$，其中 $k=1$ 是最外圈。空心方阵外层边长为 $n$、厚度一圈，人数 $4n-4$。

同心层颜色交替时，逐层计算或用“奇数层/偶数层边长平方和”；题目给外圈数量，可先反推出边长。

4. 植树与间隔

直线上两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1；封闭环形：棵数 = 间隔数。长度 $L$、间距 $d$ 时先算 $L/d$，再按端点是否栽树处理。矩形边界植树时角点常被两边重复计数，先分别算边再减角点重复。

第22章　趣味杂题：比赛、钟表、统筹与称重

1. 淘汰赛与循环赛

单败淘汰赛有 $N$ 支队伍，决出冠军总需 $N-1$ 场比赛，因为每场淘汰一队。轮空只是免赛进入下一轮，不改变总场次。至少轮数为 $\lceil {\log }_{2}N\rceil$，但冠军个人比赛场次受签位影响。

单循环赛 $N$ 队，每队对其他队一次，总场次 $C_N^2=N(N-1)/2$。每队已赛场数可用总度数求和；每场使两支队伍各增加一场。

2. 钟表与快慢表

两表每天分别快 $a$ 分、慢 $b$ 分，相对误差每天增加 $a+b$ 分。要重新显示同一时刻，需累计相对误差达到 12 小时或 24 小时，视题目“显示标准时间”的定义而定。先确定表盘周期，再除以相对误差。

走时快 $r$ 分/小时的表，实际经过 $t$ 小时，表上经过 $t(1+r/60)$ 小时。不要把“快 3 分钟”理解成每小时只显示 60 分钟。

3. 统筹排程

多个任务可并行、部分任务需先后时，画依赖图或甘特图。等待结果期间可做其他任务；在不受额外资源冲突影响时，依赖关系中耗时最长的连续任务链叫关键路径，它决定最早完工时间。可合并的收费、取药等活动只计一次。双机器调度常采用“短任务优先”减少总等待时间，但若目标是最短完工时间，还要均衡两台机器负荷。

资源分配、车间配比题先列整数变量和资源约束，再列成本/天数目标。问“至少多少天”是最小化时间；问“总费用最低”要把工期限制也写进去。

4. 天平称重

每次称重三种结果：左重、右重、平衡，可区分最多 $3^k$ 种状态。若已知假币偏轻，可设计分组称量；若不知道偏轻还是偏重，每枚假币对应两种假设，信息量要求更高。每次称量后都要保证各分支可区分剩余对象。例如已知一枚假币偏轻，58 枚中每次尽量分成三组等量，称两组：若平衡，假币在未称的一组；若不平衡，假币在较轻的一组。每次最多把候选数缩到约三分之一，因为 $3^3=27<58\le 81=3^4$，至少需要 4 次称量。

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第六编　考场方法与训练闭环

第23章　选项、赋值与快速判断

讲义最后一讲的标题是“考场提速蒙猜技巧”，内容分为代入排除、赋值法、倍数特性、常识或图例、抓住关键点。这里的“蒙”是用已知关系排除不可能项、缩小候选范围；每一步都要能说明依据。

1. 选项代入

适合：未知数少、方程单调、选项间隔明显、计算某个选项即可验证。把最方便或居中的选项代入；若题目要求最大/最小且表达式单调，可比较端点。

不适合：所有选项都需大量重复计算；题目有容易被选项误导的多解整数方程。此时先建立关系再筛选。

2. 赋值法

题中只有比例、百分比，没有绝对量时，给总量赋一个便于整除的数。例如比例 $2:3$ 可赋 2、3 或 20、30；浓度问题可把总质量设为 100；工程问题设工作量为完工时间最小公倍数。

赋值必须保留目标量与设定量的关系。如果题目问实际数量而绝对规模确实有约束，不能随意赋 100 后直接报数。

3. 倍数、奇偶与尾数

优先看选项是否有明显倍数或奇偶差异。求人数且出现比例时先求最小整数单位；金额题统一到“分”；连续乘积题看尾数和质因数。尾数法只能排除不可能项，不能替代未覆盖的关键条件。

4. 图形与常识

几何题图不按比例绘制，不能以目测长度替代已知条件；先把文字条件标到图上。常识可用于排除物理上不可能或数量级明显不合理的答案，但最终要与公式或边界条件相容。

5. 抓住关键点

先把问题最后一句改写成“我究竟要求哪个量”，再从题干挑出直接决定它的关系。背景故事里不是每个数字都要用；若目标是某块面积，就先找面积之间的比例或共同底高；若目标是最少天数，就列清工作量、资源上限和任务先后；若目标是获胜概率，就只数会改变胜负的对局顺序。把无关叙述暂时划掉，通常能让模型更短。

可以用一句话检查：每个写进算式的量都能指出题干来源，每个题目要求的量都能在算式或最后一步中找到。

6. 反向检验

把结果代回原条件：工程用时应随效率增加而下降；加水浓度应下降；混合浓度位于各组浓度之间；最不利取数在保证前确实存在反例，增加一次才保证。发现矛盾时优先查模型，而非继续算。

解题决策树

有明确数量关系？ ─ 是 → 方程 / 比例 / 赋值
        │否
是否是“每单位完成多少”？ ─ 是 → 效率模型（工程、行程、牛吃草）
        │否
是否问方案数或概率？ ─ 是 → 先判有序/无序，再计总数与有利数
        │否
是否问至少保证/最多可能？ ─ 是 → 最坏情况 / 极端构造 / 反向构造
        │否
是否有周期、日期、重复动作？ ─ 是 → 周期 / 同余 / 最小公倍数
        │否
画图、列小表、代选项，找题干真正的约束

常见失分诊断

1. 模型选错：把工作量与人数当线性，但存在持续生长或效率变化；把选人当排列，实际岗位不同才有序。
2. 基准错位：百分数比较的分母变化；增长率按本期占比加权；折扣重复折算。
3. 漏掉时间段：停留、休息、加入/撤出、调速、边界日期未纳入。
4. 重复计数：组合方案有标签还是无标签；三集合交集在两两交集里被多次计算；圆桌旋转未消重。
5. 整数条件未用：人数、车辆数、分配数必须为整数；比例对应最小整数倍。
6. 极值没有构造：只用平均值估算，未证明边界可达到；“至少保证”忘记取最坏情况再加一。
7. 算式正确但答非所问：算了总时间却问某队工作时间；算出折扣却问销量；算了总方案却问概率。

建议的复习路径

1. 第一轮：结构记忆。每章只记核心模型、适用条件、一个反例；看到题干能在 30 秒内说出候选模型。
2. 第二轮：无提示建模。练题时先遮住解析，写未知量、单位和方程，再计算。把“会做但慢”和“模型不会”分开记录。
3. 第三轮：限时迁移。混合练习，强制先扫题选择顺序；每题记录首次判断、实际耗时、卡点和是否使用辅助。
4. 错题复测。间隔后做同模型新题，不以背熟原题作为掌握证据。复测重点是识别条件变化后模型是否仍成立。

错题标签建议：概念/模型识别、关系式、整数约束、计数漏项、重复计数、边界遗漏、运算、审题/答非所问、时间分配。先按错误原因复盘，不按正确率给模块排能力名次。

讲义章节对照

本教材按学习结构调整了编排，原讲义 22 讲对应如下：

原讲次	讲义目录页码	本教材位置
1 和差倍比与方程法	1	第1章
2 工程问题	5	第5章
3 整除问题和合作完工问题	9	第2、3、5章
4 余数、平方数与等差数列	13	第3、4章
5 容斥问题	19	第10章
6 溶液问题与十字交叉法	23	第6、7章
7 经济利润问题	27	第8章
8 经济利润之函数最值、增长相关	32	第9章
9 和定最值与最不利极限题	36	第11章
10 周期循环与日期星期问题	40	第12章
11 平面几何问题	44	第13章
12 立体几何与特殊几何问题	52	第14章
13 基础排列组合	59	第15章
14 基础概率问题	64	第18章
15 相邻/不相邻与环形排列	69	第16章
16 定序、相同元素分配、错位与重复排列	73	第17章
17 平均分堆与特殊概率问题	78	第17、18章
18 行程问题（一）	83	第19章
19 行程问题（二）	87	第20章
20 趣味杂题（一）	92	第21章
21 趣味杂题（二）	97	第22章
22 考场提速蒙猜技巧	102	第23章

目录页码沿用讲义自身的页码；PDF 文件前面另有目录页，电子文件页序会比讲义页码多 1。上表覆盖目录列出的全部 22 讲；本指南按知识结构合并相关内容，未逐题照录讲义习题。

公式速查

以下公式均为独立公式块，便于在 Obsidian 中渲染和阅读。

比例与数列

等差数列

$$a_n=a_1+(n-1)d$$$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$$

等比数列（公比不等于 1）

$$a_n=a_1{q}^{n-1}$$$$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$

工程、平均与混合

工程

$$W=vt,v_{\text{合作}}=v_1+v_2+\cdots +v_k$$

加权平均

$$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\cdots +n_k{x}_k}{n_1+n_2+\cdots +n_k}$$

混合浓度

$$c=\frac{c_1{m}_1+c_2{m}_2+\cdots +c_k{m}_k}{m_1+m_2+\cdots +m_k}$$

集合与计数

两集合容斥

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

三集合容斥

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$$

排列与组合

$$A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!},C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

等概率事件

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}$$

至少发生一次

$$P(\text{至少一次})=1-P(\text{一次也没有})$$

周期、行程与极值

周期同时发生

$$T=\mathrm{lcm}(T_1,T_2,\dots ,T_k)$$

行程

$$s=vt$$

相遇与追及

$$t_{\text{相向}}=\frac{L}{v_1+v_2},t_{\text{同向追及}}=\frac{L}{|v_1-v_2|}$$

牛吃草

$$Q+gt=nct$$

其中 Q 为初始存量，g 为单位时间新增量，n 为消耗者数量，c 为单个消耗者单位时间的消耗量。

二次函数顶点（开口向下时，顶点为最大值点）

$$y=a{x}^2+bx+c,x_{\text{顶点}}=-\frac{b}{2a}$$