第3章　整除、倍数特性与余数

1. 常用整除判定

• 2：末位为偶数；5：末位 0 或 5；10：末位 0。
• 3、9：各位数字和分别被 3、9 整除。
• 4：末两位被 4 整除；8：末三位被 8 整除。
• 11：奇数位数字和与偶数位数字和之差是 11 的倍数。
• 分数与比例中的整数性：若 $A/B=m/n$ 且 $m,n$ 互质，则 $A$ 是 $m$ 的倍数，$B$ 是 $n$ 的倍数。

“人数的某百分比是整数”给出整除条件。这里的 $p$ 以小数表示，例如 20% 写作 0.2。40% 的人数为整数，说明总人数为 5 的倍数；62.5% 则为 8 的倍数。

2. 余数同余

“除以 $m$ 余 $r$”记为 $N\equiv r(\mathrm{mod}m)$。多个余数条件可逐个合并。若余数相同，如 $N\equiv 2(\mathrm{mod}3)$、$N\equiv 2(\mathrm{mod}5)$，则 $N\equiv 2(\mathrm{mod}15)$。

例如 $N$ 除以 3 余 2、除以 5 余 1。先列出除以 3 余 2 的数：2、5、8、11、14、17……其中 11 除以 5 余 1，所以最小解是 11；两个条件同时成立的数每隔 $\mathrm{lcm}(3,5)=15$ 出现一次，即 $N=11+15k$（$k$ 为整数）。如果余数不相同，就从原条件逐项检查，不能直接把余数当作一个数。

3. 余数与日期、页码、连续数

连续 $k$ 个整数的乘积包含多个因子，可优先分解质因数、判断末位和整除性。连续日期或页码的和为等差数列和；被删去连续页码时，可先求总和，再依据整除余数反推缺失页码区间。判断平方数时，可列出靠近范围边界的平方：$1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$；若题目还给奇偶、整除等条件，再逐一筛选。