第23章　选项、赋值与快速判断

讲义最后一讲的标题是“考场提速蒙猜技巧”，内容分为代入排除、赋值法、倍数特性、常识或图例、抓住关键点。这里的“蒙”是用已知关系排除不可能项、缩小候选范围；每一步都要能说明依据。

1. 选项代入

适合：未知数少、方程单调、选项间隔明显、计算某个选项即可验证。把最方便或居中的选项代入；若题目要求最大/最小且表达式单调，可比较端点。

不适合：所有选项都需大量重复计算；题目有容易被选项误导的多解整数方程。此时先建立关系再筛选。

2. 赋值法

题中只有比例、百分比，没有绝对量时，给总量赋一个便于整除的数。例如比例 $2:3$ 可赋 2、3 或 20、30；浓度问题可把总质量设为 100；工程问题设工作量为完工时间最小公倍数。

赋值必须保留目标量与设定量的关系。如果题目问实际数量而绝对规模确实有约束，不能随意赋 100 后直接报数。

3. 倍数、奇偶与尾数

优先看选项是否有明显倍数或奇偶差异。求人数且出现比例时先求最小整数单位；金额题统一到“分”；连续乘积题看尾数和质因数。尾数法只能排除不可能项，不能替代未覆盖的关键条件。

4. 图形与常识

几何题图不按比例绘制，不能以目测长度替代已知条件；先把文字条件标到图上。常识可用于排除物理上不可能或数量级明显不合理的答案，但最终要与公式或边界条件相容。

5. 抓住关键点

先把问题最后一句改写成“我究竟要求哪个量”，再从题干挑出直接决定它的关系。背景故事里不是每个数字都要用；若目标是某块面积，就先找面积之间的比例或共同底高；若目标是最少天数，就列清工作量、资源上限和任务先后；若目标是获胜概率，就只数会改变胜负的对局顺序。把无关叙述暂时划掉，通常能让模型更短。

可以用一句话检查：每个写进算式的量都能指出题干来源，每个题目要求的量都能在算式或最后一步中找到。

6. 反向检验

把结果代回原条件：工程用时应随效率增加而下降；加水浓度应下降；混合浓度位于各组浓度之间；最不利取数在保证前确实存在反例，增加一次才保证。发现矛盾时优先查模型，而非继续算。

解题决策树

有明确数量关系？ ─ 是 → 方程 / 比例 / 赋值
        │否
是否是“每单位完成多少”？ ─ 是 → 效率模型（工程、行程、牛吃草）
        │否
是否问方案数或概率？ ─ 是 → 先判有序/无序，再计总数与有利数
        │否
是否问至少保证/最多可能？ ─ 是 → 最坏情况 / 极端构造 / 反向构造
        │否
是否有周期、日期、重复动作？ ─ 是 → 周期 / 同余 / 最小公倍数
        │否
画图、列小表、代选项，找题干真正的约束

常见失分诊断

1. 模型选错：把工作量与人数当线性，但存在持续生长或效率变化；把选人当排列，实际岗位不同才有序。
2. 基准错位：百分数比较的分母变化；增长率按本期占比加权；折扣重复折算。
3. 漏掉时间段：停留、休息、加入/撤出、调速、边界日期未纳入。
4. 重复计数：组合方案有标签还是无标签；三集合交集在两两交集里被多次计算；圆桌旋转未消重。
5. 整数条件未用：人数、车辆数、分配数必须为整数；比例对应最小整数倍。
6. 极值没有构造：只用平均值估算，未证明边界可达到；“至少保证”忘记取最坏情况再加一。
7. 算式正确但答非所问：算了总时间却问某队工作时间；算出折扣却问销量；算了总方案却问概率。

建议的复习路径

1. 第一轮：结构记忆。每章只记核心模型、适用条件、一个反例；看到题干能在 30 秒内说出候选模型。
2. 第二轮：无提示建模。练题时先遮住解析，写未知量、单位和方程，再计算。把“会做但慢”和“模型不会”分开记录。
3. 第三轮：限时迁移。混合练习，强制先扫题选择顺序；每题记录首次判断、实际耗时、卡点和是否使用辅助。
4. 错题复测。间隔后做同模型新题，不以背熟原题作为掌握证据。复测重点是识别条件变化后模型是否仍成立。

错题标签建议：概念/模型识别、关系式、整数约束、计数漏项、重复计数、边界遗漏、运算、审题/答非所问、时间分配。先按错误原因复盘，不按正确率给模块排能力名次。