第10章　容斥原理与集合计数

1. 两集合

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$

只属于 A = $|A|-|A\cap B|$；两者都不属于 = 总数 − 并集。例如总人数 100，喜欢 A 的有 40 人、喜欢 B 的有 35 人、两者都喜欢的有 15 人，则至少喜欢一种的有 $40+35-15=60$ 人；只喜欢 A 的有 25 人，只喜欢 B 的有 20 人，两者都不喜欢的有 40 人。若题目比较“都有”与“都没有”，先设交集 $x$，逐项表达，不要凭图形直觉。

2. 三集合

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$

用维恩图时把区域分成 7 块：只 A、只 B、只 C、仅 AB、仅 AC、仅 BC、三者都有。题目给“同时选两项”需辨认是包含三者的交集，还是“仅两项”。

3. 多项选择问卷与计数

把每个区域人数设未知量，依次用总人数、单项人数、两项交集、三项交集建立方程。若方程较多，先把题目提供的信息写在区域图上，最后求所问区域。出现人数百分比时再加整数约束。

4. 容斥与最值

题目问“至少多少/至多多少同时属于多组”，把总量分配到区域，做最有利或最不利的构造。三集合下界常用：

$$|A\cap B\cap C|\ge |A|+|B|+|C|-2N.$$

结果若小于 0，下界取 0。精确问题仍要验证能否构造出达到该界的分配。