第5章　工程问题与合作完工

1. 基本模型

设总工作量为 $W$，效率为 $v$，时间为 $t$：

$$W=vt,v=\frac{W}{t}.$$

工作量没有具体单位时，常把 $W$ 设成各单独完工时间的最小公倍数。若甲需 20 天、乙需 30 天，设总量 60，则效率分别为 3、2 单位/天；合作效率为 5，合作完工需 12 天。

2. 分段工作

把时间线切成效率或人员发生变化的段，分别算产量再相加：

$$W=\sum _i{v}_i{t}_i.$$

若甲先做 $x$ 小时、乙接手剩余工作，则 $v_{A}x+v_B(T-x)=W$。题干给出“某人中途离开/加入/效率变化”，就必须分段，不能用全程平均效率直接乘总时间。

例：甲单做需 50 小时，乙单做需 30 小时；全程 42 小时由甲先做 $x$ 小时、乙做其余部分。令总量为 150，效率 3、5，则 $3x+5(42-x)=150$，解得 $x=30$。乙工作 12 小时，完成量为 60，占总量 $60/150=40\mathrm{\%}$。

3. 效率比例法

若只给效率比，设效率为 $a:b$，工作总量可设为方便数。效率提升 25% 就乘 1.25，合作效率按人相加。问“提前或延后几天”，先算已经完成的工作量，再把剩余工作除以新效率。

多人合作撤出时，不能把撤出者的效率仍算进后续段。若某人合作时效率比单做提高 10%，这是“合作状态下的个人效率”变化；先辨清它是整体变化还是个人变化。

4. 合作完工问题的守恒

工作总量固定。多个方案之间作差，常能消去未知总量。例如两种组合工期相近，分别写总产量方程后相减，留下少数效率或时间变量。处理“某队先单做、再合作、最后单做”时用工序表最稳。