第4章　数列、平方数与规律

1. 等差数列

首项 $a_{1}$ 、公差 $d$ 、项数 $n$ ：

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d, S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] .

奇数项等差数列的中项等于平均数；项数为 $n$ 时， $S_{n} = n \times$ 中项。对称两项之和相等：若 $i + j = k + l$ ，则 $a_{i} + a_{j} = a_{k} + a_{l}$ 。

如果给出前 5 项和、前 7 项和，二者相减即可得到第 6、7 项之和；利用对称性进一步求中项或总和。例如数列 2、5、8、11 的首末项和为 13，因此总和是 $4 \times 13 / 2 = 26$ ，也可直接两两配对计算。

2. 等比数列与复合规律

等比数列： $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ ， $S_{n} = a_{1} (1 - q^{n}) / (1 - q)$ （ $q \neq 1$ ）。行测更多是识别重复倍增、连续增长率或数字循环，不必机械套公式。

有规律的算式序列可拆成“第几轮”“轮内位置”“每轮贡献”。先写出第 $k$ 轮首项、项数和和，再对累计和做区间定位，避免逐项累加。

3. 平方数、质数和整数结构

平方数个位只可能为 0、1、4、5、6、9；完全平方数的质因数指数均为偶数。若平方数 $p$ 与 $p \pm 2$ 同时为质数，先用奇偶性：大于 2 的质数均为奇数，三个数的奇偶性会极强地限制 $p$ 。

看到“每种商品种类数为 $n$ ，每种都订 $n$ 件”，总数是 $n^{2}$ ；多个对象的数量是平方数时，先列平方数表而非解复杂方程。