第6章　平均数、加权平均与十字交叉

1. 加权平均

若两组人数为 $n_1,n_2$，平均值为 $x_1,x_2$，总体平均：

$$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2}{n_1+n_2}.$$

总体平均必须位于两组平均之间。两组平均距总平均的“交叉差”与人数成反比：

$$n_1:n_2=(x_2-\overline{x}):(\overline{x}-x_1).$$

例如 A 组均分 86，B 组 80，总均分 84，则人数比 $A:B=(84-80):(86-84)=4:2=2:1$。这是十字交叉法的本质，适用于平均数、浓度、单价等线性加权量。

为什么人数会和“交叉差”成反比？把总平均 84 看成基准：A 组每人高出 2 分，B 组每人低 4 分。要让高出的总分与低下去的总分抵消，就要有 $2\times$ A 组人数 $=4\times$ B 组人数，所以 A:B=2:1。先写这个守恒关系，再记交叉口诀会更稳。

2. 不能滥用十字交叉

十字交叉只适合“混合后的量是各组按数量加权的平均值”。增长率、利润率、几何平均、复合增长等不一定可直接交叉。先写总量守恒式，再决定是否使用。

人数需为整数、总人数有上限时，交叉只给比例，还需按最小整数倍扩展并检查总数约束。