第9章　利润函数最值与增长

1. 线性需求下的二次函数

设售价比原价提高 $x$，销量随之减少 $kx$。若单件成本为 $c$，原售价 $p$，原销量 $q$，利润：

$$P(x)=(p+x-c)(q-kx).$$

展开后可写成 $a{x}^2+bx+c$。当 $a<0$ 时图像开口向下，连续取值范围里的最大值在顶点 $x=-b/(2a)$；如果 $x$ 只能取整数，就比较顶点两侧最近的整数，并检查题目允许的范围。也可用“单价每变动 1 元，利润如何变化”枚举选项。选项法要代回原条件核验，不能只凭接近顶点下结论。

2. 等幅增长和连续变化

同比增长 $r$：新量 = 旧量 $\times (1+r)$；连续 $n$ 次等增长：乘 $(1+r{)}^n$。连续两次下降同为 $r$，最终为原量 $(1-r{)}^2$，总降幅是 $1-(1-r{)}^2=2r-r^2$，大于 $r$ 而小于 $2r$。

3. 增长率的基期分解

整体增幅是分项增幅按基期占比加权。若 A 下降 30%，B 上升 70%，整体上升 10%，设 B 基期占比 $x$：

$$-30\mathrm{\%}(1-x)+70\mathrm{\%}x=10\mathrm{\%},x=40\mathrm{\%}.$$

所有“总体变化由多个组成部分贡献”的题，都要用基期权重，而非本期权重。

---