第14章　立体几何与放缩

1. 体积、表面积

立体	体积	表面积
长方体	$abc$	$2(ab+bc+ca)$
正方体	$a^3$	$6a^2$
圆柱	$\pi r^{2}h$	$2\pi r^2+2\pi rh$
圆锥	$\pi r^{2}h/3$	$\pi r^2+\pi rl$
球	$4\pi r^3/3$	$4\pi r^2$

棱柱体积 = 底面积 × 高；棱锥体积 = 底面积 × 高 / 3。切割题中体积可加减，表面积需区分原有外表面与新切面。

2. 等比放缩

相似立体线性尺寸比 $k$，面积比 $k^2$，体积比 $k^3$。例如每条边都放大到原来的 3 倍，面积放大 9 倍、体积放大 27 倍。沙漏、圆锥水位、帐篷等题，截面相似时先写比例，不必求绝对尺寸。圆锥高度变为一半时，若底面半径也按比例变化，体积可能变为八分之一；若只改变水位高度，必须重新判断圆锥相似比例。

3. 几何最值与最短路径

固定周长的矩形，正方形面积最大；固定长方形面积 $A$，周长在正方形时最小。若一个边沿墙、不需围栏，目标周长关系会变成 $x+2y=L$，面积 $xy$ 在 $x=2y$ 时最大。

最短路径常用对称展开：把反射点沿边镜像，折线最短等价为展开平面中的直线。两点在直线同侧、要求经直线到达时，将一端镜像后连线。