第18章　概率与随机过程

1. 古典概型

所有基本结果等可能时：

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

先确定样本空间的单位：是人、座位安排、抽取顺序、子集，还是重复抽取序列。分子分母必须使用同一单位。

2. 组合概率与补集

不放回抽样通常用组合数；放回抽样或独立试验用乘法。求“至少一个”优先算补集：

$$P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个也没有}).$$

例如从 8 个展厅选 3 个，叶雕与皮影至少参观一个：总方案 $C_8^3$，两者都不选为 $C_6^3$，概率 $1-C_6^3/C_8^3$。

3. 条件概率与全概率

若先观察到条件 $B$，则 $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$。分情况 $B_i$ 覆盖全部情况时：

$$P(A)=\sum _{i}P(A|B_i)P(B_i).$$

多轮评审、堵车与否、比赛胜负，都可按第一步状态拆分。题中说各事件独立时才可以直接相乘。

4. 比赛概率与状态递推

三局两胜、五局三胜等系列赛，按“还需几胜/还剩几局”递推。若每局胜率 $p$ 且独立，三局两胜获胜概率为：

$$p^2+2p^2(1-p)=3p^2-2p^3.$$

若胜率会随上一局结果变化，就按上一局状态做树状图或递推，不能使用独立同分布公式。

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