第21章　趣味杂题：牛吃草、鸡兔、方阵、植树

1. 牛吃草模型

草场初始草量 $Q$，草每天生长 $g$，每头牛每天吃 $c$，$n$ 头牛吃 $t$ 天：

$$Q+gt=nct.$$

不同牛数和天数形成方程组，可解出 $Q$ 和每天生长量 $g$。若目标是 $T$ 天吃完：

$$n=\frac{Q/T+g}{c}.$$

关键是新增量持续发生，不能只用“总草量/总吃草量”。排队窗口、蓄水池进水、河道淤积也属于同一模型。

2. 鸡兔同笼

两类对象数量 $x,y$，总数 $N$，某种总量 $M$：

$$x+y=N,ax+by=M.$$

也可先假设全部是第一类，差额除以每换一只第二类增加的量。答题计分、双打人数、动物腿数都可转为同类方程。

3. 方阵

实心正方形方阵边长为 $n$ 时总数 $n^2$，外圈 $4n-4$；从外向内第 $k$ 圈人数为 $4[n-2(k-1)]-4$，其中 $k=1$ 是最外圈。空心方阵外层边长为 $n$、厚度一圈，人数 $4n-4$。

同心层颜色交替时，逐层计算或用“奇数层/偶数层边长平方和”；题目给外圈数量，可先反推出边长。

4. 植树与间隔

直线上两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1；封闭环形：棵数 = 间隔数。长度 $L$、间距 $d$ 时先算 $L/d$，再按端点是否栽树处理。矩形边界植树时角点常被两边重复计数，先分别算边再减角点重复。