公式速查

按题型汇总常用公式。先确认适用条件和单位，再代入计算。

比例与数列

等差数列

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = \frac{n [2 a_{1} + (n - 1) d]}{2}

等比数列（公比不等于 1）

a_{n} = a_{1} q^{n - 1}

S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

工程、平均与混合

工程

W = v t, v_{合作} = v_{1} + v_{2} + \dots + v_{k}

加权平均

\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{k} x_{k}}{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}}

混合浓度

c = \frac{c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2} + \dots + c_{k} m_{k}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k}}

集合与计数

两集合容斥

| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |

三集合容斥

| A \cup B \cup C | = | A | + | B | + | C | - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C |

排列与组合

A_{n}^{r} = \frac{n!}{(n - r)!}, C_{n}^{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

等概率事件

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}

至少发生一次

P (至少一次) = 1 - P (一次也没有)

周期、行程与极值

周期同时发生

T = lcm (T_{1}, T_{2}, \dots, T_{k})

行程

s = v t

相遇与追及

t_{相向} = \frac{L}{v_{1} + v_{2}}, t_{同向追及} = \frac{L}{| v_{1} - v_{2} |}

牛吃草

Q + g t = n c t

其中 Q 为初始存量，g 为单位时间新增量，n 为消耗者数量，c 为单个消耗者单位时间的消耗量。

二次函数顶点（开口向下时，顶点为最大值点）

y = a x^{2} + b x + c, x_{顶点} = - \frac{b}{2 a}