数量关系

这是一份从基础概念开始的数量关系学习指南，面向第一次系统学习的人。重点是看懂题目在问什么，把文字写成数量关系，再选合适的方法计算和检查。

主要依据：四海教育《数量讲义》2025 下半年版，共 22 讲、108 页。本指南按知识之间的联系重新编排为 23 章，并补充必要定义、推导、例子、边界条件和常见错误。原讲义中的练习题没有逐题照录；机构参考答案不等同于官方评分。遇到扫描公式不清楚时，按通行数学定义重新推导，不猜测模糊字符。

开始前：先看懂这些数学语言

读题时会反复遇到字母、分数、比例和“每份”这样的说法。先记住下面几条，就能读懂后面的公式。

未知数和等式

把不知道的数量暂时叫作 $x$、$y$。例如“甲有一些书，比乙多 3 本”，如果乙有 $x$ 本，那么甲有 $x+3$ 本。题目再说两人共有 17 本，就能写成 $x+(x+3)=17$。

等号表示左右两边的数量相同。解方程就是找出让等式成立的数；对等式两边做同一种加、减、乘、除操作，等式仍然成立。上例中 $2x+3=17$，两边先减 3 得 $2x=14$，再除以 2 得 $x=7$，所以乙有 7 本、甲有 10 本。最后把答案放回题意检查：$7+10=17$。

分数、百分数和“以谁为基准”

分数 $a/b$ 表示把一个整体平均分成 $b$ 份后取其中 $a$ 份；百分数是分母为 100 的分数，所以 $25\mathrm{\%}=25/100=0.25$。求一个数的 25%，就是乘以 0.25。例如 80 的 25% 是 $80\times 0.25=20$。

“甲比乙多 20%”中的基准是乙：若乙为 100，甲为 120；写成甲 $=1.2\times$ 乙。反过来，乙比甲少的百分数要用甲作分母，不能仍答 20%。每遇到百分数，先圈出“和谁比”。

比例和“份数”

甲:乙 $=3:2$ 的意思是：甲和乙分别由 3 份、2 份同样大的量组成。用 $k$ 表示每份的大小，就有甲 $=3k$、乙 $=2k$。如果两人合计 50，则 $3k+2k=50$，每份 $k=10$，甲 30、乙 20。

比例只告诉你相对大小，不能单独确定实际数量。题目没有总量、差、单位数量或其他约束时，$k$ 不能被擅自当作 1。

单位率：每份时间或数量做多少

“每小时 6 件”“每人分 3 个”“每公里 5 分钟”都是单位率。若每小时做 6 件，做 4 小时就做 $6\times 4=24$ 件；反过来，24 件由每小时 6 件完成，需要 $24÷6=4$ 小时。

先把单位写清楚：件/小时、米/秒、元/件。数量关系中最常用的对应式是“总量 $=$ 每单位的量 $\times$ 单位数”，工程和行程都能从这里开始。

倍数、因数、最大公约数和最小公倍数

若 12 能被 3 整除，就说 3 是 12 的因数、12 是 3 的倍数。几个整数共同拥有的最大因数叫最大公约数，最小的正公共倍数叫最小公倍数。例如 6 和 8 的最大公约数是 2，最小公倍数是 24。后文遇到“同时整除”或“周期同时发生”时会用到它们。

乘方、阶乘和组合数

$3^2$ 读作“3 的平方”，表示 $3\times 3=9$；$3^3=3\times 3\times 3=27$。$n!$（读作“$n$ 的阶乘”）表示从 $n$ 连乘到 1，例如 $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$；约定 $0!=1$。$C_n^r$ 表示从 $n$ 个不同对象中选出 $r$ 个、但不关心先后顺序的选法数。后文会说明它与“排列”有什么不同。

概率

当所有可能结果机会相同，事件的概率等于“有利结果数 ÷ 全部结果数”。掷一枚公平骰子，掷出偶数有 2、4、6 三种，共有 6 种等可能结果，所以概率是 $3/6=1/2$。如果结果机会不相同，不能直接用这个分数，需要先分析每种结果的概率。

集合、总和和其他常见记号

$A\cup B$ 表示属于 A 或 B 至少一个，$A\cap B$ 表示同时属于 A 和 B；$|A|$ 表示集合 A 中对象的个数。$\mathrm{\Omega }$ 常表示全部可能结果，$\sum$ 表示把后面列出的数逐项相加。几何中 $\pi$ 是圆周率，约等于 3.14；$r$ 表示圆的半径，半径是圆心到圆边的距离，直径是半径的两倍。

如何使用这本教材

数量关系题目看起来题材很多，底层结构却集中在少数几类：比例与方程、效率叠加、整数约束、平均与混合、计数、概率、极值、周期，以及几何和运动模型。先把题目翻译成这些结构，再选择最快的算法。

建议每题依次做四步：

1. 定对象和单位：问的是人数、次数、工作量、路程、金额，还是方案数？单位统一了吗？
2. 写关系，不急着算：找总量、部分量、比例、差、倍数、先后顺序和限制条件。
3. 选模型：方程、赋值、列表、画图、公式、枚举、反向构造，或选项代入。
4. 检验边界：整数性、是否重复计数、是否满足“至少/至多/恰好/首次/全部”等限定。

考试的题量和时间会因考试类别、年份和试卷而变化；共同点是作答时间有限。首轮扫题时，优先拿下熟悉模型与短题；需要多步分类、图形复杂或读题不确定的题先标记。不要因为一道题已经花了时间就继续投入（沉没成本）。

建模的共同语言

• 总量：设为 1、100、最小公倍数或方便计算的数。工作量、浓度混合总质量、人数总数常可整体赋值。
• 比例：若 $A:B=m:n$，可设 $A=mk,B=nk$。不知道绝对量时先保留 $k$。
• 百分数：增长 $r$ 后乘 $1+r$，下降 $r$ 后乘 $1-r$。连续变化相乘，不直接相加。
• 单位率：每小时、每人、每件、每公里的量。把“每单位做多少”固定下来，较容易组合。
• 约束：题干中的整数、正数、互异、至少、至多、顺序、满员、整除等词，常比叙述背景更重要。
• 答案校验：数量应非负、整数条件应成立、概率在 0 到 1 之间、效率与用时方向相反、混合平均值应在各组均值之间。

---

章节导航

每章都是独立页面，可以按顺序学习，也可以从左侧目录直接进入需要复习的章节。

第一编：方程、整数与数列

• 第1章 和差倍比、比例与方程
• 第2章 不定方程与整数约束
• 第3章 整除、倍数特性与余数
• 第4章 数列、平方数与规律

第二编：效率、平均与收益

• 第5章 工程问题与合作完工
• 第6章 平均数、加权平均与十字交叉
• 第7章 溶液、混合与连续稀释
• 第8章 经济利润与阶梯计费
• 第9章 利润函数最值与增长

第三编：集合、极值与周期

• 第10章 容斥原理与集合计数
• 第11章 和定最值、极端构造与鸽巢原理
• 第12章 周期、循环与日期星期

第四编：几何、排列与概率

• 第13章 平面几何
• 第14章 立体几何与放缩
• 第15章 排列组合基础
• 第16章 相邻、不相邻与环形排列
• 第17章 定序、相同元素分配、错排与分堆
• 第18章 概率与随机过程

第五编：行程与趣味题

• 第19章 行程问题（一）：基础、比例、相遇追及
• 第20章 行程问题（二）：流水、火车、变速与平均速度
• 第21章 趣味杂题：牛吃草、鸡兔、方阵、植树
• 第22章 趣味杂题：比赛、钟表、统筹与称重

第六编：考场方法与训练

• 第23章 选项、赋值与快速判断

参考工具

• 讲义章节对照：按原讲义目录页码定位 22 讲内容。
• 公式速查：集中查看常用关系式。